Binary option finite difference

Preço das opções usando o método das diferenças finitas - Matlab Durante o curso Quantitative amp Finanças computacionais no departamento de matemática da UCL. Foi-nos pedido que avaliem 4 tipos de opções, opção de compra europeia, opção de colocação europeia e opções binárias utilizando o método de diferenças finitas. Esta publicação descreve a equação de Black-Scholes e suas condições de fronteira, o método de diferenças finitas e, finalmente, o código e a ordem de precisão. Para o código matlab nesta publicação usei o pincel java, portanto, os comentários precisarão ser alterados para. Eu sei que você perguntaria, por que eu não usei um pincel Matlab em primeiro lugar, bem, eu estou usando o SyntaxHighlighter e olhando esse comentário. Nota do autor: a longa lista de funções (1300) pode fazer o navegador não responder quando você usa isso escova. me deixe de fora. I Equação de Black-Scholes Onde Smbox, sigmaVolatility, rmbox, Vmbox Esta é uma equação diferencial parcial da equação parabólica. Em termos de gregos. A equação de Black-Scholes pode ser escrita como segue Theta - frac sigma2 S2 Gamma - r S Delta r V Conjuntos de limite de amplificação final A condição final é as condições de limite de compensação em S0 e na Opção de chamada européia Sinfty Black-Scholes fechada da solução A forma fechada A solução para a equação de Black-Scholes para uma opção de Chamada Européia é C (S, T) Squad N (d1) - Equad e quad N (d2) e N é a função de distribuição cumulativa de um padrão normal. Usando a equação de paridade Call-Put CALL-PUT S-e N (-d2) também podemos processar a fórmula P (S, T) - Squad N (-d1) Equad e quad N (-d2) Para opções de tipo binário , Também denominado cash-or-nothing, os métodos Call and Put: Método de Diferença Finito de Métodos de Diferença Finita é um método numérico para aproximar as soluções para equações diferenciais usando equação de diferença finita para derivada aproximada. A grade de diferenças finitas geralmente tem passo de tempo igual, o tempo entre nós é igual a etapas S. O passo do tempo é delta t e o passo do patrimônio é delta S. Assim, a grade é composta de pontos no valor dos ativos Sidelta S e vezes t T-k delta t onde 0leq ileq l e 0leq kleq K. Eu delta S é a nossa aproximação do infinito, neste exercício usaremos Sinfty 2 cdot Strike Assim, podemos escrever o valor da opção em cada um desses pontos da grade como VV (idelta S, T-kdelta t). Assim, o sobrescrito é o tempo Variável e o subíndice é a variável do activo. Agora vamos usar a notação de Gregos Black-Scholes para aproximar theta, gamma e delta Aproximando Theta. Segue-se que podemos aproximar a derivada de tempo da nossa grade de valores usando a diferença de tempo para trás: frac (S, t) aprox. Frac - VO (Delta t) Esta é a aproximação das opções theta. Ele usa o valor da opção em dois pontos da grade V (k, i) e V (k1, i). Esta aproximação é uma ordem precisa no delta t e veremos mais tarde que mais tarde nos exemplos. Delta Aproximado A mesma idéia pode ser usada para aproximar a primeira ordem na derivada S, o delta. A partir de uma série de Taylor expansão do valor da opção sobre o ponto Sdelta S, t temos V (Sdelta S, t) V (S, t) delta S frac (S, t) fractura delta S2 frac (S, t) O ( Delta S3) Similarmente, V (S-delta S, t) V (S, t) - delta S frac (S, t) fractura delta S2 frac (S, t) - O (delta S3) Subtraindo do outro, dividindo Por 2delta S e rearranjo dão fração (S, t) fração - VO (delta S2) Aproximação da gama A gama de uma opção é a segunda derivada da opção em relação ao subjacente. A aproximação natural é frac aproximadamente frac -2V VO ( Delta S2) Esta aproximação também é uma segunda ordem precisa no delta S como a aproximação do Delta e mostrará isso também mais tarde. The Explicit Finite-Diffrence Method Cálculo dos gregos usando a diferença para trás Agora nós conectamos nossa aproximação dos gregos anteriores na fractura da equação de Black-Scholes - V fractura sigma2 (i2delta S2) frac -2V V r idelta S frac - V - r V 0 Reorganizando V alpha V beta V gama V com alpha frac sigma2 i2 delta t - fractura delta t beta 1 - sigma2 i2 delta t - r delta t gamma frac sigma2 i2 delta t frac ir delta t A equação da diferença finita é válida em todos os lugares dentro da Grade que não é válida nos limites. Portanto, precisamos definir os limites dependendo do tipo de opção que estamos valorizando. Amplificador final Condições de fronteira Para uma Opção de Chamada Européia em t T (expiração) i I Payoff V (S, t) max (SE, 0) Assim V max (i delta SE, 0) onde 0leq i leq l A probabilidade de S caindo Sob E torna-se insignificante, também pequenas mudanças em S para não afecto o preço da opção, então Gammafrac 0 (Para opção de Chamada Européia) Gammaapproxfrac -2V V 0 Esta é a condição de limite superior V (alpha - gamma) V (beta 2gamma) V) Finalmente, para os critérios de estabilidade, escolheremos delta t leq frac. III Código e Resultados Aqui está a implementação matlab do método de diferenças finitas. Utilizamos os mesmos parâmetros fixos, isto é, a volatilidade 0.2, taxa de juros 0,05, preço de exercício 100, preço atual é o valor descontado do preço de exercício S100 e. Para cada tipo de opção, variamos o tempo e o preço do ativo para mostrar que o método é de primeira ordem e a segunda ordem é precisa em delta t e delta S, por sua vez. Nós também definimos o alfa, beta e gama externamente para maior clareza. O código da função alfa O código da função beta O código da função Gamma Também desfizamos os resultados da solução de formulário fechada para uma opção de chamada e colocação europeia e, de forma semelhante, para as opções binárias. Solução de formulário fechado para opção de chamada europeia Solução de formulário fechado para opção de opção europeia Solução de formulário fechado para uma opção de chamada européia (Cash-or-nothing) Solução de formulário fechado para uma opção de venda européia (Cash-or-nothing) Aqui definimos o valor da opção Funciona para uma chamada europeia e coloca a opção com a respectiva condição de recompensa máxima (SE, 0) e louca (ES, 0). Percebemos que o código é semelhante, apenas a função de recompensa pode ser revertida, dependendo da opção tipo i. e, chamada ou colocação. Valor da opção Função Função do valor da opção binária Na figura abaixo, emitimos os valores das opções de chamada pelo método explícito de diferença finita. A seguir, mostraremos que os métodos de diferença finita são de primeira ordem e a segunda ordem é precisa em delta t e delta S, ao traçar o erro contra delta t e delta S2 em ambos os gráficos, esperamos ter um gráfico linear. Valores da opção de chamada europeia Vs de erro. Delta t Valores da opção de chamada europeia Vs de erro. Delta S2 European Put valores da opção Error vs. Delta t European Put Option valor de erro vs. Delta S2 Traçando o erro em porcentagem contra o delta t e delta S2 para a chamada européia e a opção de colocação para a função de recompensa contínua e binária, verificamos claramente que o erro é linear no delta t e no delta S2. Quanto menores as etapas estão em delta t e delta S2, é preciso o método de diferença finita, mas isso vem com um tempo de computação caro. Paul Wilmott apresenta Finanças Quantitativas, Segunda Edição, por Paul P. WilmottOption Pricing Usando o Método de Diferença finita explícita Este tutorial discute as especificidades do método de diferença finita explícita, pois é aplicado ao preço da opção. O código de exemplo que implementa o método explícito no MATLAB e usado para preço de uma opção simples é dado no método explícito - um tutorial de implementação do MATLAB. O tutorial sobre Métodos de Diferença Finita cobre conceitos matemáticos gerais por trás de métodos de difusão finita e deve ser lido antes deste tutorial. Métodos alternativos de diferenças finitas, nomeadamente o método implícito e o método Crank-Nicolson. São abordados em tutoriais complementares. Discretizando a PDE Black-Scholes-Merton Para o método explícito, a equação diferencial parcial Black-Scholes-Merton, onde os índices i e j representam nós na grade de preços. Substituindo estas aproximações na PDE dá, o que se reduz à Equação 1: Equações de diferença finita explícita onde a equação 2: parâmetros de diferença finitos explícitos Para ver por que isso é chamado de esquema de diferença finita explícita, considere o seguinte diagrama, Figura 1: Diferença finita explícita vista como Uma Árvore Trinomial A Figura 1 é uma representação pictórica da Equação 1. Eles mostram que os valores dados para fnof i, j1. Fnof i, j e fnof i, j-1 então os valores para fnof i-1, j podem ser calculados explicitamente (e facilmente). Na estrutura de preços de opções, a Equação 1 (e, portanto, a Figura 1) mostra que, tendo em conta o valor da opção nas condições de contorno (e o mais provável no final da validade), todos os pontos internos da tabela de preços podem ser calculados usando uma abordagem de indução para trás Para retroceder ao longo do tempo. Ou seja, dado o retorno da opção nos nós de expiração, os preços deltat antes do prazo de validade podem ser calculados e, a partir desses preços, o valor 2deltat antes do prazo de validade pode ser calculado e funcionando iterativamente para trás ao longo do tempo até o preço da opção nos nós da rede para t0 (ie Hoje) podem ser calulados. Uma Formulação de Matriz A formulação para o método explícito dada na Equação 1 pode ser escrita na notação da matriz. Equação 3: Diferença finita explícita na forma da matriz Estabilidade e Convergência Duas questões importantes para perguntar sobre qualquer algoritmo numérico são quando é estável e se é estável Então, quão rápido ele converge (um algoritmo iterativo instável levará ao cálculo de números cada vez maiores que, em algum ponto, se aproximarão do infinito. Por outro lado, um algoritmo estável convergirá para uma solução finita. Normalmente, o mais rápido que o finito A solução é alcançada melhor o algoritmo. De resultados padrão em álgebra de matriz é sabido que uma equação de matriz da forma dada na Equação 3 é estável se e somente se Equação 4: Explicit Finite Difference Stability Condition Equation 4 mostra a norma de infinito do Matriz A. Heuristicamente, se a norma de infinito de A for inferior a 1, os valores sucessivos de F i na Equação 3 ficam menores e menores, e galinha O algoritmo converge, ou é estável. (Alternativamente, se a norma de infinito de A for maior que 1, então os valores sucessivos de F i ficam maiores e maiores e, portanto, divergem.) Pode ser mostrado que para certas combinações de Rho. Sigma e deltat. (E, portanto, valores para aj. Bj e cj), a norma de infinito de A será maior que 1. Portanto, a menos que o tamanho da grade (particularmente no eixo do tempo) seja escolhido apropriadamente, o método da diferença finita explícita pode ser instável e, portanto, útil para Preço da opção. (Compare isso com o método implícito e o método de Crank-Nicolson, ambos garantidos para serem estáveis.) A taxa de convergência do algoritmo está diretamente relacionada ao erro de truncamento introduzido quando se aproxima as derivadas parciais. Portanto, o método explícito converge nas taxas de Omicron (deltat) e Omicron (deltaS 2). Esta é a mesma taxa de convergência que o método implícito. Mas mais lento do que o método Crank-Nicolson. Preço das opções de estilo americano A técnica de indução para trás usada para pisar o método explícito para trás ao longo do tempo é ideal para opções de preços que incluem a possibilidade de exercícios iniciais. Em cada nó, em vez de usar o valor calculado a partir da Equação 1 (ou Equação 3), esse valor é comparado ao valor intrínseco e o máximo dos dois se usado, i. e. fnof i, j max (Valor Calculado, Valor Intrínseco)